重生学神有系统 第256章 扩展欧几里得算法，以及增强线段树

“七八点钟？没问题，我们都不见得能玩到那么晚呢。”熊磊率先表示赞同。

朱达昌也点了点头：“玩得太晚了，两位老师也会不放心。”

江寒笑问：“看你们下午都这么有时间，意思是今天不往回走了呗？”

朱达昌回答：“高老师预定了火车卧铺，夜里10点的始发车。”

李山河也说：“要等8、9个小时的车，这么长时间，不玩点什么也太无聊了。”

熊磊的情况有所不同，他解释说：“我爸爸的车实在不能凑合了，准备买台全新的高尔夫6，明天就去4s店提车，所以只能晚一天回去。”

江寒了然一笑，熊爸爸那辆二手车，动不动就趴窝，的确早该换换了。

想了想，对李山河、朱达昌说：“我不一定能送你们上车，今晚我可能就得往回走了。”

“这么急吗？好不容易来一趟松江，不好好玩一玩？”李山河问。

江寒坦然点头，说：“我是坐方便车来的，别人什么时候往回走，我就什么时候跟回去，总不能让别人将就我吧？”

其实要什么时候回去，还不是他一句话的事情？

但夏雨菲明天有课……

“诶？如果唱k的话，能不能让夏雨菲同学也来呀？”朱达昌突发奇想。

“就是的，江寒，你和夏雨菲好像挺熟悉的，帮忙邀请一下呗。”李山河也力促。

江寒一阵无语。

别说，还真可以考虑一下。

小媳妇这次出来，光跟着自己跑前跑后了，也没玩好……

也不知道她有没有意愿出来散散心？

江寒想了想，没把话说死：“好吧，比完赛我打电话问一声，能不能约出来，我可不敢保证哦。”

听了江寒的话，其他人都十分期待，毕竟夏雨菲不光长得好看，在学校里也是有名的唱歌好听。

但其实，江寒已经决定，顺便也叫苗清澜和关浩一声，愿意来的话，就一起热闹热闹。

而且，出门在外的，指导教师们也不可能彻底放手，肯定都会跟着。

这样的话，就不太好去一些环境太复杂的场所了……

时间将到8点，赛场封锁就被解除，选手们再次鱼贯入场。

其他流程和昨天大同小异。

8点30分，Day2比赛正式开始。

江寒拿到题之后，习惯性地全部浏览了一遍，然后从头开始做。

今天的三道题，难度比Day1高多了。

但说实话，并没有超过他的预计，都属于那种稍微花点心思就能解决的类型。

第一题是同余方程。

【问题描述】：求关于x的同余方程ax≡1（modb）的最小正整数解。

输入数据是两个正整数a和b，要求输出方程的最小正整数解x0。

比如：输入3和10，输出就是7。

数据范围：

对于40%的数据，2≤b≤1000；

对于60%的数据，2≤b≤；

对于100%的数据，2≤a≤，2≤b≤；

输入的数据保证一定有解。

江寒一打眼就看出来了，这是一道数论题。

只要明白同余方程是怎么回事，就很容易理清思路。

原式可理解为axmodb=1，即ax的乘积除以b，余数为1。

所以，对于任意给定的a、b，可以用穷举法暴力搜索，从x0=1开始，每次递增1，很容易就能找出一个最小的x，使得方程成立。

但因为a、b的取值范围特别巨大，这样做，会导致至少4个点TLE（TimeLimitExceeded，即时间超限）。

要想得到全部分数，必须想办法缩减运算时间。

如果能找到这个算式中隐藏的规律，问题自然迎刃而解。

当然，这需要拥有一点数论功底，才能办得到。

江寒先观察了一下方程。

原式等价于ax-kb=1，因为k值可以为负数，所以又可以看做ax by=1。

显而易见，a与b一定互质，所以原式可转化为ax by=gcd(a，b)，这里gcd表示两个整数的最大公约数……

咦？

这不就是扩展欧几里得的标准形式吗？

这样就简单了啊！

欧几里得算法也叫辗转相除法，用于求最大公约数，属于小学奥数常见内容。

有个基本性质：gcd(a，b)=gcd(b，a%b)。

而扩展欧几里德算法，则用来已知a，b，求解方程ax by=gcd(a，b)的解。

根据数论中的相关定理，解是一定存在的。

所以，这道题只要用上扩展欧几里德算法，就能很轻松找到一组x0、y0，使得等式成立。

接下来，江寒根据算法，只花了五分钟，就编写出了对应的代码。

其中的递归函数exgcd（），就是扩展欧几里德算法的一种实现。

用上了这种方法之后，编程难度大大降低，一共只用了10来行代码，就完成了解答。

然后一调试……

江寒就无语地发现，求解出来的x0，居然有时候会出现负值。

这就不符合题意了。

那么……为什么会产生这种情况呢？

江寒想了想，拿过一张草稿纸，简单地推理了一下。

在数学上，ax=1(modb)等价于ax%b=1，又等价于ax by=1。

当用扩展欧几里德算法，求出它的一组解x0和y0时，可得ax0 by0=1。

那么只要在方程左边加上一个kab，再减去一个kab，合并同类项可得：

a(x0 kb) b(y0-ka)=1。

x=x0 kb，y=y0-ka就是方程的通解，k可以为负数、0、或正数。

这里我们只关心x的取值，于是接下来，只要求出等于x0 kb的最小正整数，就可以了。

为什么给x0加上一个kb，而不是某个比b小的数与k的乘积？

很简单，如果那么做，就找不到能使等式成立的y了……

因为x0有可能为负数，所以要分两种情况讨论。

当x0大于0时，显而易见，x0%b也大于0，所以最小的正整数x就是x0%b本身。

而当x0≤0时，x0%b也必然≤0，因为|x0%b|必定小于b，所以只需要在x0%b的结果上，再加上一个b，就可以得到最小的正整数解了。

推演到这里，结论就很明确了。

江寒马上将代码稍加修改，再次一调试，这次就顺利通过了。

啧，出题的人挺阴险的嘛。

如果生搬硬套扩展欧氏算法，没准一不小心就会掉进坑里去……

虽然这么一个小坑，应该也困不住太多人就是了。

第一题搞定之后，江寒就开始思考下一道题。

第二题：借教室。

【问题描述】：……

（太长，省略。）

这道题和Day1的第三题差不多，都是那种表述啰嗦得要死，但只要看明白题意，就会觉得异常简单的题型。

江寒直觉可以用线段树来弄。

事实上，应该也是行得通的。

但一般说来，线段树中的pushdown常数都特别巨大，很容易溢出。

所以，如果没什么特别的优化手段，最多通过70%的数据校验点，也就差不多达到极限了。

要想过掉100%的校验点，达到AllClear的境界，就必须使用二分答案法，再加上前缀和差分……

正打算换个思路来破题，江寒忽然想起了什么，拿起草稿纸一阵推演。

五分钟后，他长出了一口气，然后开始画流程、写伪代码。

他没有改变算法，仍然使用了线段树，只不过在标准的算法中，稍微做了一点小改进。

办法很简单，就是将线段树的标记固定化了，在区间完全重合的时候，只是打上修改标记，而不去pushdown标记。

在查询的时候，顺便将每个位置标记上，要算的值都放在下一层递归里，这样就大大优化了线段树的pushdown常数。

标记的删除非常方便，要把一个区间改回去，只需要把最外层的几个小区间标记置0就行。

这么一改进，就能大大减少运算量，从而有很大的机会通过全部数据了。

江寒写完增强线段树算法，又编写了一段测试代码，用各种极限值去测试。

结果非常喜人，在100%的数据输入区间，都能轻松在1秒内得到答案。

第二题就此搞定。

时间到此才过去1个小时20分钟，还剩下两个多小时。

那么，接下来就一鼓作气，搞定最后一题。